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선형대수 - 대칭행렬의 대각화 가능성과 직교대각화 가능성 🎶 대칭행렬의 대각화 가능성과 직교대각화에 대해 알아보고, 예제를 통해 이해해보자. 7.4 대칭행렬의 대각화 1. 대칭행렬의 대각화 가능성대각성분들이 모두 다른 삼각행렬은 대각화가 가능하다. 먼저 2차 대칭행렬부터 살펴보자.⚔️ 2차 대칭행렬은 2개의 일차독립인 고유벡터를 가진다. 따라서 대각화 가능하고, 일차독립인 2개의 고유벡터들을 직교하는 단위벡터로 선택할 수도 있다.다음과 같은 2차 대칭행렬을 생각해보자. b=0이면 이미 대각행렬이므로 당연히 대각화 가능하므로 b가 0이 아니라고 가정하자. 그러면, 의 판별식이 D = (a + d)^2 - 4(ad - b^2) = (a-d)^2 + (2b)^2 > 0 이므로 A는 서로 다른 두 개의 고윳값 을 갖는다. 각 고유값에 대응하는 고유벡터 v1, v2는.. 2025. 7. 13.
선형대수 - 대각화 가능한 행렬과 고유벡터와의 관계 및 예제 🎶 선형대수에서 대각화 가능한 행렬이 무엇을 의미하는지 알아보고 예제를 살펴보자. 7.3 대각화 가능한 행렬 1. 대각화 가능한 행렬임의의 행렬 A가 대각행렬과 닮은 행렬이면, A를 '대각화 가능한 행렬'이라고 한다. 대각화 가능한 행렬을 대각화하기 위해서는 다음 절차를 거치면 충분하다.(🎃 여기서, P는 행렬 A의 고유벡터를 열로 갖는 행렬을 의미한다.)더해서, A가 n가 정사각행렬일 때, 다음이 성립한다.A가 n개의 일차독립인 고유벡터 B={v1, ..., vn}을 가지면, A는 대각화 가능하다.역으로, A가 대각화 가능한 행렬이면 A의 고유벡터로 구성된 M(nx1)의 기저를 얻는다.A가 대각행렬 D와 닮은 행렬(similar matrix)이면, 다소 쉽게 A의 거듭제곱 계산이 가능한데, 이는 가.. 2025. 7. 11.
선형대수 - 고유공간(eigenspace)과 예제 🎶 고유공간의 개념에 대해 알아보고 예제를 통해 이해해보자. 7.2 고유공간 1. 고유공간λ 가 n차 정사각행렬 A (혹은 선형변환 T : V - > V) 의 고유값일 때, 는 벡터공간 M(nx1) 의 부분공간이다.이 때, 이 E를 행렬 A의 (혹은 선형변환 T)의 '고유공간(eigenspace)' 라고 부른다. 0벡터가 아닌 E의 벡터는 고유벡터이므로 고유공간 E는 고유값이 λ 인 고유벡터들의 집합에 0을 더한 집합이다. 2. 고유공간 예제다음과 같은 행렬들의 고유공간을 구해보자. 위 두 행렬의 고유값은 모두 2이기 때문에, 다음과 같은 고유공간을 얻는다. 2025. 7. 9.
선형대수 - 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector) 🎶 고유값과 고유벡터의 개념에 대해 살펴보고 예제를 통해 이해해보자. 7.1 고유값과 고유벡터1. 고유값과 고유벡터T : V -> V 가 벡터공간 V의 선형변환일 때,  를 만족하는 스칼라 λ와 0이 아닌 벡터 v ∈ V 를 각각 T의 고유값과 고유벡터라고 한다.더해서, n차 정사각행렬 A에 대하여, 스칼라 λ와 0이 아닌 벡터 v ∈ M(nx1)이 존재해 를 만족하면  λ를 행렬 A의 '고유값(eigenvalue or characteristic value)', v를 행렬 A의 '고유벡터(eigenvalue or characteristic vector)'라고 한다. 2. 정사각행렬의 고유값과 고유벡터n차 정사각행렬 A가 주어졌을 때, 스칼라 λ와 0이 아닌 벡터 v가 A의 고유값과 고유벡터라고 하자. .. 2025. 7. 7.
선형대수 - 변환행렬(transition matrix)과 닮은행렬(similar matrix) 🎶 변환행렬과 닮은행렬의 개념에 대해 알아보고, 예제를 통해 이해해보자. 6.8 변환행렬1. 변환행렬의 정의n 차원 벡터공간 V에서 B = {v1, ..., vn} , C = {w1, ..., wn} 가 V의 기저일 때, V에서의 항등변환 의 행렬을 '변환행렬(transition matrix)' 또는 전이행렬 이라고 하고, 다음과 같이 표현한다. 2. 변환행렬 예제다음과 같은 기저 E = {e1 = (1,0), e2 = (0,1)}, B = {v1 = (1,0), v2 = (1/2,1)} 를 생각하자. v = (2,3) 일 때, 기저 B에 의한 V의 좌표를 구하려면, 을 활용해 기저 E에서 B로의 변환행렬을 구할 수 있다. 이에 다음과 같이 기저 B에 의한 V의 좌표를 구할 수 있다. 3. 닮은 행렬같.. 2025. 7. 5.
선형대수 - 선형변환의 합성과 역변환 🎶 선형변환의 합성과 역변환의 개념에 대해 알아보고, 여러 가지 동치 조건들을 살펴보자. 6.7 선형변환의 합성과 역변환1. 선형변환의 합성함수 f : X -> Y 와 g : Y -> Z 의 합성 g o f 는 함수 이다. 이를 기저의 관점에서 살펴보면, 다음이 성립한다.  2. 가역선형변환과 역변환두 선형변환 T : V -> W와 S : W -> V이 를 만족할 때, T와 S를 '가역선형변환', 내지는 가역변환이라고 부른다. 이 때 S를 T의 '역변환', T를 S의 역변환 이라고 부른다.참고로, T : V -> W가 가역선형변환일 필요충분조건은 T가 동형변환이다. 3. 선형변환의 여러 성질들선형변환 T : R^n -> R^n 에 대해 다음 조건들은 동치이다. 2025. 7. 3.
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