Quantum computing - Linear algebra (선형대수) : Pauli matrix, orthogonal, orthonormal, spanning set

🎶 양자 시스템에서 사용되는 선형대수의 기본적인 개념에 대해 알아보자.

 

(🎞️  Let's take a look at the basic concepts of linear algebra used in quantum systems.)

 

(1) A spanning set for a vector space

: 벡터 공간 V의 임의의 벡터 |v>를 set의 원소들의 선형 결합(linear combination)으로 생성할 수 있을 때, 그 집합을 spanning set 이라고 한다.

 

(🎞️ When any vector |v> in a vector space V can be generated by linear combination of elements in the set, the set is called spanning set.)

[사진 1] arbitary vector v

 

(2) Linearly dependent

: 적어도 하나 0이 아닌 복소수(complex number)가 존재해 다음과 같은 등식을 만족할 때, 선형 종속적(linear dependent) 이라고 한다.

 

(🎞️ When at least one nonzero complex number exists and satisfies the following equation, it is called the Linear dependent.)

[사진 2] Linear dependent

 

(3) Linearly independent

: Linearly dependent 하지 않는 집합을 뜻한다.

 

(🎞️ The set that is not linearly dependent is called the Linearly independent.)

 

 

(4) Linearly operator

 

: 어떤 입력에 대해서도 선형적인 결과를 산출하는 연산자(operator)를 linear operator 라고 한다.

(🎃 어떤 operator든 간에 matrix로 표현할 수 있다!)

 

(🎞️ An operator that produces a linear result for any input is called the linear operator.)

(🎞️ Any operator can be represented by the matrix!)

 

 

(5) Inner product (내적)

: 두 개의 벡터를 입력으로 받아서 하나의 복소수를 출력으로 내놓는 함수를 뜻한다.

(🎃 Inner product space를 Hilbert space라고 부른다.)

 

(🎞️ It refers to a function that receives two vectors as input and products one complex number as output.)

(🎞️ Inner product space is calld the Hilbert space as well.)

[사진 3] Inner prodcut

 

(6) The Pauli matrices

: 양자 system에서 자주 쓰이는 행렬로써, 다음과 같은 행렬을 뜻한다.

(🎃 Pauli matrices는 Hermitian 이면서 Unitary하다. - 다음 포스트에서 이것들을 다루도록 하겠다.)

 

(🎞️ It is a matrix frequently used in quantum systems and refers to the following matrix.)

(🎞️ Pauli matrices are Hermitian and Unitary - I'll cover these in the next post.)

[사진 4] The Pauli matrices

 

(7) Orthogonal

: 두 벡터의 내적값이 0일 때, 혹은 두 벡터가 서로 직교할 때 orthogonal 하다고 한다.

 

(🎞️ It is said to be orthogonal when the innner product values of two vectors are zero, or when the two vectors are orthogonal to each other.)

 

(8) Orthonormal

: 각 벡터들이 서로 unit vector이고, orthogonal 한 벡터들을 말한다.

(🎃 벡터의 norm(크기)값이 1일 때, unit vector라고 한다.)

 

(🎞️ It is said to be orthonormal when each vector is a unit vector and the orthogonal vectors.)

(🎞️ When the norm of the vector is 1, it is called the unit vector.)

 

다음 포스트에서는 미처 다루지 못한, 남은 선형 대수 관련 개념들에 대해 살펴보도록 하겠다.

 

(🎞️ In the next post, I will cover the remaining concepts related to linear algebra that have not been addressed.)