선형대수 - 행렬식의 정의와 공식 및 행렬식 예제

🎶 선형대수에서 사용하는 행렬식의 정의와 공식에 대해 알아보고, 예제를 통해 확실히 이해하도록 해보자.

 

3.1 행렬식

 

1. 행렬식의 정의

일차방정식 ax = b 가 유일한 해를 가질 조건은 a가 0이 아니고 그 해는 x = (a^-1)b 임을 기억하자.

또, 다음과 같은 연립방정식

[사진1] 연립방정식

 

이 유일한 해를 가질 조건은 다음과 같다는 사실을 상기하길 바란다.

[사진2] 유일한 해를 가질 조건

 

즉, 행렬 

[사진3] 행렬

 

로부터 유도되는 수 ad - bc 는 위의 두 직선의 방정식으로 이루어진 연립일차방정식의 해의 갯수에 대한 정보를 가지고 있다. 바로 이 식, ad - bc가 위 행렬의 '행렬식(determinant)'으로 정의하고, 다음과 같이 표기한다.

[사진4] 행렬식

 

더해서, 세 개의 변수와 세 개의 방정식으로 구성된 연립일차방정식이 오직 한 개의 해를 가질 조건 다음과 같은 행렬식이 0이 아님이 자명하다.

[사진5] 3x3 행렬의 행렬식

 

참고로 행렬식을 외우는 팁은 다음과 같이, 

[사진6] 행렬식 외우는 팁

 

해당하는 열과 행을 지운 뒤, 남은 행렬의 행렬식을 구한 후 계수로 곱해주는 것으로 이해하는 것이다.

 

2. 행렬식 예제

다음과 같은 3차 정사각행렬 A를 생각해보자.

[사진7] 행렬 A

 

A의 각 소행렬 A11, A12, A13은 다음과 같으므로,

[사진8] A의 소행렬

 

A의 행렬식 |A|는 다음과 같이 30이다.

[사진8] A의 행렬식