선형대수 - 여러가지 행렬들과 행렬연산 성질들

🎶 선형대수에서 다루는 여러가지 행렬에 대해 자세히 알아보도록 하자.

 

2.5 여러가지 행렬들과 각 행렬들의 성질

 

1. 여러가지 행렬들

행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬, n x n 행렬을 n차 정사각행렬(square matrix) 또는 'n차 정방행렬'이라 한다.

[사진1] 정방행렬

 

위에서 (i, i) 성분들을 A의 대각성분(diagonal entry)이라 하고, 대각성분을 제외한 모든 성분들이 0인 정사각행렬을 '대각행렬(diagonal matrix)'라 부른다.

[사진2] 대각행렬

 

정사각행렬의 대각성분 아래, 혹은 위에 있는 모든 성분들이 0인 행렬을 '삼각행렬(triangular matrix)'이라고 부르는데,

[사진3] 삼각행렬

 

A와 같은 꼴의 행렬을 '상삼각행렬(upper triangular matrix)', B와 같은 꼴의 행렬을 '하삼각행렬(lower triangular matrix)'라 부른다.

대각성분이 모두 1이고 대각성분을 제외한 모든 성분이 0인 n차 정사각행렬을 n차 단위행렬(unit matrix) 또는 '항등행렬(identity matrix)'이라고 한다.

[사진4] 항등행렬

 

임의의 m x n 행렬 A,

[사진5] 임의의 행렬 A

 

의 i행을 i열, i열을 i행으로 바꾼 n x m 행렬을 'A의 전치행렬(transpose)'라 하고 다음과 같이 표현한다.

[사진6] A의 전치행렬

 

참고로, 정사각행렬 A에 대해,

[사진7] 대칭행렬

 

이면 A를 '대칭행렬(symmetric matrix)'라 하고, 

[사진8] 교대행렬

 

이면 A를 '교대행렬(skew symmetric matrix)' 라 한다.

 

2. 행렬 연산 관련 성질들

임의의 m x n 행렬 A, B, C와 스칼라 c, d에 대해 다음이 성립한다.

• 교환법칙 : A + B = B + C
• 결합법칙 : (A + B) + C = A + (B + C)
• 항등원 : A + O = A = O + A (여기서 O은 영행렬을 의미)

[사진9] 영행렬