선형대수 - 가우스-조르단 소거법과 가우스 기본행연산

🎶 선형대수에서 행렬을 이용해 연립방정식을 푸는 방법에 대해 자세히 알아보자.

 

2.3 행렬을 이용한 연립방정식 계산

 

1. 가우스 기본행연산

다음 세 가지를 '기본행연산(elementary row operations)'이라 한다.

• 한 행에 상수를 곱해 다른 행에 더함
• 한 행에 0이 아닌 상수를 곱함
• 서로 다른 두 행을 교환함

연립일차방정식에 기본행연산을 시행해 얻은 연립일차방정식은 처음 주어진 연립일차방정식과 본질적으로 같기 때문에, 이를 '동치(equivalence)'라 한다. 즉, 행렬 A에 유한 기본행연산을 시행해 얻은 행렬 B는, A와 행동치(row equivalence)라 한다.

참고로, 계수행렬(coefficient matrix)에 상수항들을 첨가한 행렬을 '첨가행렬(argmented matrix)'이라고 하고 다음과 같이 표현한다.

[사진1] 첨가행렬

 

다음 예시를 통해 가우스 기본행연산에 대해 자세히 알아보자. 우선, 다음과 같은 연립일차방정식을 고려하자.

[사진2] 임의의 연립일차방정식

 

이를 첨가행렬로 표현한 뒤, 다음과 같이 기본행연산을 반복해 시행하면 다음과 같은데,

[사진3] 기본행연산

 

마지막에 얻은 행렬을 '행 사다리꼴 행렬(row-echelon matrix)'라고 부른다. 참고로 행렬의 각 행의 처음 0이 아닌 성분을 선두성분이라고 부른다.

만들어진 행 사다리꼴 행렬에 기본행연산을 반복해 계수행렬을 항등행렬로 만들면,

[사진4] 기본행연산2

 

방정식의 해 [1, -1, 2] 를 얻게 된다.

 

위 예시처럼 행렬에 기본행연산을 시행해 행동치인 기약행사다리꼴 행렬을 구하는 과정을 가우스-조르단 소거법이라고 부른다. 기약행사다리꼴 행렬이란 다음 네 조건을 모두 만족하는 행렬을 말한다.

• 0이 아닌 성분을 포함하는 행에서 선두성분이 1임
• 각 행의 선두성분 1은 바로 위의 행의 선두성분보다 오른쪽에 위치함
• 모든 성분이 0인 행은 0이 아닌 성분을 포함하는 행들보다 아래쪽에 위치함
• 선두성분 1을 포함하는 모든 열에서 선두성분 1의 위와 아래가 모두 0임

 

2. 계수행렬의 다양한 의미

계수행렬을 통해 다음과 같은 유의미한 결과들을 유추해 낼 수 있다.

1. 계수행렬이 단위행렬과 행동치면, 연립일차방정식은 유일한 해를 갖는다.
2. 계수행렬의 행계수가 첨가행렬의 행계수가 같고, 미지수의 개수보다 작으면 해가 무수히 많다.
3. 계수행렬의 행계수와 첨가행렬의 행계수가 같지 않으면 해를 갖지 않는다.